Hace unos días, durante mis aventuras en el transporte colectivo de la ciudad de México, observé a un par de estudiantes discutiendo la forma de resolver sistemas de ecuaciones. Recordé que esa se podía convertir en una tarea tediosa cuando cursas la preparatoria o los primeros meses de la universidad; no tanto por la dificultad al realizarlo sino por los múltiples métodos que existen para hacerlo, a veces prefería que una calculadora lo hiciera por mi.
Aprovechando que el trayecto era un tanto largo, recordé aquellas épocas de estudiante en las que en ocasiones buscaba una manera más rápida y eficiente para realizar las cosas (y no porque fuera cómoda o me diera más tiempo para ir al estacionamiento de la facultad para jugar futbol o ir a un bar con mis amigos, que conste). Me vino a la mente un método en particular para realizarlo y no ocupar varias hojas de papel (sí, en mis tiempos todavía se usaban esas cosas llamadas cuadernos) para hacer las operaciones. Además de que tenía otra ventaja: era fácil de programar. En esta entrada trataré explicar una forma de resolver estos sistemas de ecuaciones y de paso, activo de nuevo esta cosa llamada blog que sufre de abandono por culpa de
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Antes de empezar, asumo que si estás leyendo esto por lo menos tienes una idea de qué son las ecuaciones simultáneas de primer grado con tres o más incógnitas. Si no es así, entonces te recomiendo que visites
este enlace.
Como antecedente, vendría bien que recordaramos algunos métodos para buscar los valores de las incógnitas. Una forma popular para encontrar la solución en un sistema de tres ecuaciones es por el método de determinantes. Creo que desde la secundaria nos torturan con las "chorrocientas" operaciones que se tienen que hacer para encontrar las dichosas determinantes y luego, para rematar, tenías que multiplicar la matriz y casi casi rezarle a Pitágoras para que te saliera bien. Ya en la prepa y universidad, con toda esa experiencia en álgebra y otras tantas brujerías, veías métodos con matrices y escuchabas hablar de un tal Gauss y su método y las cosas empezaban a cambiar, claro no faltaba el profesor que te decía que lo hicieras por los clásicos métodos de igualación o sustitución pero cuando veías un sistema de más de tres ecuaciones se volvía horriblemente fastidioso y no se diga cuándo lo tenías que hacer por matriz inversa.
El método de
Gauss-Jordan parecía que tomaba lo mejor de las anteriores alternativas y ser más directo. Por si no lo recuerdas, era el método en el cual reducías en cada paso el número de ecuaciones y de incógnitas hasta que terminabas con una sencilla ecuación de primer grado con una sola incógnita; solo faltaría que fueras sustituyendo los valores para encontrar el resto. Suena bien, pero existe otra alternativa: el método
Gauss-Jordan-Aragón.
Según un profesor de la facultad, el chistoso nombre se debía a que en la FES Aragón se había inventado el procedimiento, aunque la verdad nunca me tomé la molestía de investigar. El nombre es lo de menos, el chiste es que funcione. En realidad no varía mucho del Gauss-Jordan original pero puede que veas una ligera ventaja. Al final del día es solo una alternativa más.
Tomando como ejemplo el ejercicio #186 del Baldor tenemos:
1)
2x + 4y + 3z = 32)
10x - 8y - 9z = 0
3)
4x + 4y - 3z = 2
Preparamos el escenario utilizando solamente los coeficientes y los términos independientes y organizándolos por columnas formando una pseudo-matriz:
Ahora tomamos los primeros términos de la primera y segunda ecuación (con asterisco) para formar una fracción (
2/10). Para eliminar los primeros términos multiplicamos los términos de la primer ecuación por el inverso de la fracción (en este caso
10/2 que es igual a
5 obviamente) y les restamos los de la segunda.
Para explicarlo mejor, lo pondré paso a paso el primer paso:
Se comprueba la eliminación del término (puesto que el resultado es cero). Ahora los siguientes términos:
Ahora lo mismo para la tercer ecuación. De igual forma que en le paso anterior, formamos una fracción y obtenemos su inverso para multilplicar término por término. En el ejemplo se toma el 2 y el 4 para formar 2/4; el inverso por lo tanto es 2. Quedando:
Se puede observar que ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones. Como al principio tomamos los nuevos primeros términos y formamos otra fracción: 28/4, su inverso es 1/7 ya simplificado.
Lo demás es cosa fácil:
Para la última fila obtenida, como en otros métodos podemos multiplicar todos los términos para simplificar. En este caso, multiplicaremos por -7 para que quede el término en solitario
39z = 13. Lo demás en imágenes:
Encontrado el primer resultado, "subimos un nivel" y sustituimos donde se tengan dos términos.
Y por último:
Y así obtuvimos que:
x = 1/2, y = 1/4, z = 1/3.
Aunque confuso en un principio, este método resulta muy útil cuando se tienen tres o más ecuaciones simultáneas, por lo regular, también podemos darnos cuenta rápidamente cuando los sistemas no tienen solución.
Ofrezco disculpas por el post tan largo pero aproveché para quitarme las ganas de estar "typeando" de nuevo en mi blog.
Felices cálculos.
